Question

【题目】已知函数 （0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = = ．

∵f（x）为偶函数，

∴对x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，

∴ ．

即 ，

整理得 ．

∵ω＞0，且x∈R，所以 ．

又∵0＜φ＜π，故 ．

∴ ．

由题意得 ，所以ω=2．

故f（x）=2cos2x．

∴ ．

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象．

∴ ．

当 （k∈Z），

即 （k∈Z）时，g（x）单调递减，

因此g（x）的单调递减区间为 （k∈Z）．

【解析】（1）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得到f（x）=2sin（ωx+φ），利用偶函数的性质f（x）=f（-x）求得ω，进而得到f（x）的表达式，代入可得f（），（2）根据三角函数的平移变换（左加右减）得到g（x）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质得出g（x）的单调区间.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用两角和与差的正弦公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两角和与差的正弦公式：；图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．