Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n≥$\frac{m}{7}$对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

Answer 1

分析 （1）当n=1时直接求出a₁，当n≥2时由a_n=S_n-S_n-1求得数列通项，验证首项后得答案；
（2）把（1）中求出的通项公式代入b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，利用裂项相消法求和，再由T_n≥$\frac{m}{7}$对所有n∈N^*都成立求得最大正整数m的值．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，得a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n．
当n=1时上式成立，
∴a_n=n；
（2）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{n（n+1）}=3（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n=$3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$3（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{3n}{n+1}$．
由T_n≥$\frac{m}{7}$，得$\frac{3n}{n+1}≥\frac{m}{7}$，
∴$m≤\frac{21n}{n+1}$．
∵$\frac{21n}{n+1}$单调递增，∴当n=1时$\frac{21n}{n+1}$有最小值为$\frac{21}{2}$．
∴满足T_n≥$\frac{m}{7}$对所有n∈N^*都成立的最大正整数m的值为10．

点评 本题考查由数列的前n项和求数列通项，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．