Question

（2012•荆州模拟）已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0；
（1）、判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）、若f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知，令x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[-1，1]，则

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

=

f(x1)-f(x2 )

x1-x2

＞0，故f（x₁）＜f（x₂），由此得到函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数，知f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，由m²-2am+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，知g（a）=2ma-m²≤0对a∈[-1，1]恒成立，由此能求出m的范围．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
∴令x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[-1，1]，
则

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

=

f(x1)-f(x2 )

x1-x2

＞0，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数．…（6分）
（2）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，
∵m²-2am+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，
∴g（a）=2ma-m²≤0对a∈[-1，1]恒成立，
∴

g(-1)=-2m-m2≤0 g(1)=2m-m2≤0

，
解得m≥2或m≤-2或m=0．…（12分）

点评：本题考查函数单调性的判断，求实数的取值范围．具体涉及到定义法判断函数的单调性、函数恒成立问题、不等式的性质．综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答．