Question

【题目】如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：

(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；

(2)三棱锥A′－BC′D的体积.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】试题分析：（1）三棱锥A′BC′D为正四面体，表面积为四个正三角形面积，边长为正方体棱长倍，根据三角形面积公式以及正方形面积公式求比值（2）三棱锥A′BC′D的体积等于正方体体积减去4个小三棱锥体积.

试题解析：(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，∴S三棱锥＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，∴＝.

(2)显然，三棱锥A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一样的，

∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4××a2×a＝a3.