【题目】如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
.
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以点
为坐标原点，
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，计算出向量
、
，然后利用空间向量法计算出异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）计算出平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，然后利用空间向量法计算出二面角
的余弦值.
（1）由题意可知，、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易得
，则点
、
、
、
.
，
，
.
因此，异面直线与所成角的余弦值为；
（2）易知点
、、、.
易知平面的一个法向量为
，设平面的一个法向量为
，
，
，
由
，得
，解得
，令
，则
，
，
所以，平面的一个法向量为
，
，
由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为.
全能测控期末小状元系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在
内,现将成绩按区间
,
,
,
，
进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．
青年组
中老年组
(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；
(2)从青年组,的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若定义在
上，且不恒为零的函数
满足：对于任意实数
和
，总有
恒成立，则称
为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且
，求
和
的值；
（2）证明：函数为偶函数；
（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数
，总有
，设有理数
、
满足
，判断
和
大小关系，并证明你的结论.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，已知菱形
的对角线
交于点
，点
为线段
的中点，
，
，将三角形
沿线段
折起到
的位置，
，如图2所示．
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A沿光滑杆自由下滑到倾斜的木板上（人可看作质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD与板的夹角分别为70o、90o和105o，则（ ）
A. t1>t2>t3 B. t1<t2<t3 C. t1=t2=t3 D. 不能确定t1、t2、t3之间的关系
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设
为两两不重合的平面，
为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
（1）若
，
，则
；
（2）若
，
，
，
则；
（3）
，
，
；
（4）若
，
，
，
，则
.
其中正确的命题是
A.（1）（3）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）
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