Question

12．已知函数f（x）=2a（cos²x+sinxcosx）+b
（1）当a=1时，求函数f（x）的周期及单调递增区间
（2）当a＞0，且x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，化简函数，即可求函数f（x）的周期及单调递增区间
（2）当a＞0，且x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，利用f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2a（cos²x+sinxcosx）+b
=cos2x+1+sin2x+b=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1+b，
∴函数f（x）的周期为π；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得单调递增区间[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
∵a＞0，f（x）的最大值为4，最小值为3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}a+a+b=4}\\{-a+a+b=3}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$-1，b=3．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，正确化简函数是关键．