Question

9．已知二次函数的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．
（Ⅰ）求f（x）的表达式．
（Ⅱ）当x∈[-2，2]且k≥6时，求函数F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．构造关于a，b，c的方程组，可得f（x）的表达式；  
（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，求函数F（x）=f（x）-kxx²+（2-k）x+1的对称轴，图象开口向上，从而求出其最小值，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意得c=1，-$\frac{b}{2a}$=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x²+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，对称轴为x=$\frac{k-2}{2}$，图象开口向上
当$\frac{k-2}{2}$≥2即k≥6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，求函数的解析式，函数的最值，是二次函数图象和性质的综合考查，难度中档．