Question

18．已知f（x）=|x²-1|+x²+kx
（Ⅰ）若k=-2，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）这个方程为绝对值方程，可以利用绝对值的代数意义去绝对值符号，再分情况解一元二次方程即可，最后方程的解集为两种情况的并集．
（Ⅱ）先根据绝对值的代数意义，把函数f（x）化为分段函数，根据函数在（0，1）上的解析式为一次函数，可判断，当x∈（0，1]时，f（x）为单调函数，所以与x轴的交点至多有一个，即f（x）=0在（0，1]上至多一个解．而当方程f（x）=0的两个解若都在（1，2）上，则x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，与两根都属于（1，2）矛盾，所以判断方程f（x）=0在（0，2）上的两个解x₁、x₂，一个在（0，1]，一个在（1，2）再根据两种情况的解析式求出k值，解出范围，最后，两种情况求出的k的范围取交集．

解答 解：（Ⅰ）若k=-2，f（x）=|x²-1|+x²-2x，不等式f（x）＞0，即|x²-1|+x²-2x＞0，
即|x²-1|＞-x²+2x，∴x²-1＞-x²+2x①或x²-1＜-（-x²+2x ）②，
解①求得 x＜$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，解②求得x＜$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，
不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
因为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}+kx-1，|x|＞1}\\{kx+1，|x|≤1}\end{array}\right.$，
所以f（x）在（0，1]是单调递函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若x₁，x₂∈（1，2），则x₁x₂=-$\frac{1}{2}$＜0，故不符合题意，因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂，∴-$\frac{7}{2}$＜k＜-1．
故当-$\frac{7}{2}$＜k＜-1时，f（x）=0在（0，2）上有两个解．

点评 本题主要考查了含绝对值的方程的解法，以及方程根的判断，做题时要善于借助函数的单调性与韦达定理，属于中档题．