Question

(1)直线B1F是否平行于平面D1DE？
(2)求二面角C1―BD1―B1的大小；
(3)若点P是棱AB上的一个动点，求四面体DPA1C1体积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）B1F∥平面D1DE （Ⅱ）60°（Ⅲ）

（Ⅰ）证明：取棱A1B1的中点E1，连结E1D.∵B1E1∥DF且相等 
∴四边形DFB1E1为平行四边形  ∴B1F∥DE1.
又∵B1F平面D1DE，易得DE1平面D1DE,∴B1F∥平面D1DE.
（Ⅱ）取A1C1与B1D1的交点O1，在平面BB1D1D上作O1H⊥BD1，
重足为H，连结HC1.∵C1O1⊥B1D1，平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，
∴C1O1⊥平面BB1D1D，∴C1H⊥BD1
即∠O1HC1是所求二面角的平面角,

∠O1HC1=60°所以二面角C1-BD1-B1的大小是60°
（Ⅲ）延长BA到M，使AM=AB连结MD，则∵AB∥DC且相等，
∴AM∥DC且相等   ∴四边形MACD是平行四边形.∴MD∥AC且相等，
又四边形A1ACC1是平行四边形   ∴AC∥A1C1且相等,∴MD∥A1C1且相等
∴MD与A1C1确定一个平面，即平面DA1C1，∴M是直线BA与平面DA1C1的交点.
∴当动点P与B重合时，P到平面DA1C1的距离最大，四面体DP A1C1体积最大.
此时四面体DP A1C1为正四面体，