Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn+an=

1

2

(n2+5n+2)（n∈N*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（I）直接利用已知的关系式，通过n=1，2，3，分别求a₁、a₂、a₃；    
（II）通过（I）猜想数列{a_n }的通项公式，然后用数学归纳法证明．

解答：解：（Ⅰ）当n=1，a₁=2…（1分）
当n=2时，a₁+a₂+a₂=

1

2

（4+10+2），
∴a₂=3…（3分）
同理可得a₃=4…（5分）
（Ⅱ）猜想 a_n=n+1…（7分）
下面用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时a₁=1+1=2，猜想成立          …（8分）
ⅱ）假设当n=k时猜想成立，即a_k=k+1
那么当n=k+1时，
∵Sk=

1

2

k2+

3

2

k，ak+1+Sk+1=

1

2

[(k+1)2+5(k+1)+2]
∴ak+1+ak+1+Sk=

1

2

k2+

7

2

k+4
∴2ak+1=

1

2

k2+

7

2

k+4-(

1

2

k2+

3

2

k)
解得 a_k+1=（k+1）+1
即n=k+1时猜想成立       …（12分）
综上ⅰ）ⅱ）a_n=n+1对一切n∈N⁺都成立． …（13分）

点评：本题考查数学归纳法的证明猜想证明方法，数列递推关系式的应用，证明中用上假设是证明的关键．