Question

在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．a_ij表示位于第i行第j列的数，其中，a₄₂=1，．

（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求a_ij的计算公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=a_nn，{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与T_n=（ n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用和求出a₄₄，再利用每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q来求公比即可．
（Ⅱ）先求出a_i4，然后在利用第i行成等比数列，且公比，即可求出a_ij的计算公式；
（Ⅲ）有（Ⅱ）的结论求出b_n的通项，再利用错位相减法求出S_n，然后研究出S_n与T_n=对应的函数的单调性，利用单调性来比较S_n与T_n=的大小即可．
解答：解：（Ⅰ）设第4列公差为d，则．
故，于是．
由于a_ij＞0，所以q＞0，故．（3分）
（Ⅱ）在第4列中，．
由于第i行成等比数列，且公比，
所以，．（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．即b_n=．
所以S_n=b₁+b₂+b₃++b_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃++a_nn．
即，
故．
两式相减，得=，
所以．（8分）
设f（x）=2--（x＞0），
即f（x）=2--=2-=2-（2+x）2^-x．
因为f′（x）=-[2^-x+（2+x）2^-x（-1）ln2]=2^-x[（2+x）ln2-1]
=2^-x[ln2^2+x-lne]=2^-xln，
且当x＞0时，x+2＞2．所以2^2+x＞2²=4．
于是＞＞1．
所以ln＞0．
又2^-x＞0，
所以在（0，+∞）上f′（x）=2^-xln＞0．
因此函数f（x）=2--在（0，+∞）单调递增．
所以（n∈N*）是递增数列．（10分）
同理设g（x）=（x＞0），
因为g′（x）=•=-＜0（x＞0），
故g（x）=在（0，+∞）单调递减．
所以T_n=（n∈N*）是递减数列．（12分）
容易计算S₁=f（1）=，S₂=f（2）=1，S₃=f（3）=1，S₄=f（4）=1，
T₁=g（1）=1，T₂=g（2）=1，T₃=g（3）=1，T₄=g（4）=1，
显然S₁＜T₁，S₂＜T₂，S₃＜T₃，S₄＞T₄，
所以当n≤3时，S_n＜T_n；当n＞3时，S_n＞T_n．（14分）
点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查．并考查了数列求和的错位相减法．以及数列与函数的综合．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．