Question

已知函数，（，为常数，），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ），，
设与的公共点为，则有
                                              ……3分
解得.                                                           ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以.
∴有时，恒成立，即恒成立.
∵, ∴，且等号不能同时成立，∴.
∴在时恒成立.                                      ……8分
设（）,则
.
显然，又，∴.
所以（仅当时取等号）.
∴在上为增函数 .                                   ……11分
故.
所以实数的取值范围是.                               ……12分
点评：导数是研究函数的有力工具，首先要看清函数的定义域，然后再利用导数研究函数的单调性，极值，最值等问题，而恒成立问题一般转化为最值问题解决.