Question

【题目】如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.

（1）证明：平面平面；

（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为

【解析】

（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；

（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.

（1）证明：因为，，，

所以，即.

又因为，，所以，

，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）解：连接，因为，是的中点，所以.

由（1）知，平面平面，所以平面.

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则平面的一个法向量是，，，.

设，，

，，

代入上式得，，，所以.

设平面的一个法向量为，，，

由，得.

令，得.

因为二面角的平面角的大小为，

所以，即，解得.

所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.