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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<数学公式)的图象如图:将函数y=f(x)(x∈R)的图象向左平移数学公式个单位,得函数y=g(x)的图象(g′(x)为g(x)的导函数),下面结论正确的是


  1. A.
    函数g(x)是奇函数
  2. B.
    函数g′(x)在区间(-数学公式,0)上是减函数
  3. C.
    g(x)•g′(x)的最小值为-3
  4. D.
    函数g(x)的图象关于点(数学公式,0)对称
D
分析:根据所给图象求出f(x)的解析式,通过平移求出g(x),进而求出g′(x),然后根据选项逐个检验即可.
解答:由图象知,A=1,函数f(x)的周期T=2(-)=
=,得ω=3,
由五点法作图知:3×+φ=,解得φ=-
所以f(x)=sin(3x-),
g(x)=f(x+)=sin[3(x+)-]=sin(3x+)=cos3x,
g′(x)=-3sin3x,
因为g(-x)=cos(-3x)=cos3x=g(x),所以g(x)为偶函数,排除A;
g′(x)=-3sin3x在(-,0)上不单调,故排除B;
g(x)•g′(x)=cos3x•(-3sin3x)=-sin6x,最小值为-,故排除C;
由3x=kπ+,得x=+,k∈Z,则g(x)=cos3x的对称中心为(+,0)k∈Z,
当k=0时,对称中心为(,0),
故选D.
点评:本题考查函数y=sin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的单调性、奇偶性,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

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(2009•海淀区二模)已知函数f(x)=a-2x的图象过原点,则不等式f(x)>
34
的解集为
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
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 给出下列命题:①F(x)=|f(x)|; ②函数F(x)是奇函数;③当a<0时,若mn<0,m+n>0,总有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正确命题的序号是
 

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