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    已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，
    （1）求AC′的长；（如图所示）
    （2）求
    AC/
    与
    AC
    的夹角的余弦值．
    分析：（1）可得
    AC′
    =
    AC
    +
    CC′
    =
    AB
    +
    AD
    +
    AA′
    ，由数量积的运算可得|
    AC′
    |2    ，开方可得；（2）由（1）可知|
    AC′
    |    ，又可求|
    AC
    |    和
    AC
    ′    •
    AC
    ，代入夹角公式可得．
    解答：解：（1）可得
    AC′
    =
    AC
    +
    CC′
    =
    AB
    +
    AD
    +
    AA′
    ，
    故|
    AC′
    |2    =|
    AB
    +
    AD
    +
    AA′
    |2    =
    AB
    2    +
    AD
    2    +
    AA′
    2
    +2（
    AB
    •
    AD
    +
    AB
    •
    AA′
    +
    AD
    •
    AA′
    ）
    =42+32+52+2（4×3×0+4×5×
    1
    2
    +3×5×
    1
    2
    ）=85
    故AC′的长等于|
    AC′
    |    =
    		85

    （2）由（1）可知
    AC′
    =
    AB
    +
    AD
    +
    AA′
    ，|
    AC′
    |    =
    		85

    故
    AC
    ′    •
    AC
    =（
    AB
    +
    AD
    +
    AA′
    ）•（
    AB
    +
    AD
    ）
    =
    AB
    2    +2
    AB
    •
    AD
    +
    AD
    2    +
    AA′
    •
    AB
    +
    AA′
    •
    AD

    =42+2×4×3×0+32+5×4×
    1
    2
    +5×3×
    1
    2
    =
    85
    2

    又|
    AC
    |    =
    		(
    AB
    +
    AD
    )2
    =
    AB
    2    +2
    AB
    •
    AD
    +
    AD
    2
    =
    		42+0+32
    =5
    故
    AC/
    与
    AC
    的夹角的余弦值=
    AC
    ′•
    AC
    |
    AC′
    ||
    AC
    |
    =
    85
    2
    		85
    ×5
    =
    		85
    10
    点评：本题考查空间向量的模长和夹角的余弦值的运算，化向量为
    AB
    ，
    AD
    ，
    AA′
    是解决问题的关键，属中档题．
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    如图，已知平行六面体ABC-A1B1C1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．
    （1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
    （2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问F在何处时，EF⊥AD？

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    如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1．
    （I）若G为△ABC的重心，
    A1M
    =3
    MG
    ，设
    AB
    =a，
    AD
    =b，
    AA1
    =c    ，用向量a、b、c表示向量
    A1M
    ；
    （II）若平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1=O，求证；OE⊥平面ABC1D1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知平行六面体ABC-A1B1C1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1．
    （I）若G为△ABC的重心，数学公式，设数学公式，用向量a、b、c表示向量数学公式；
    （II）若平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1=O，求证；OE⊥平面ABC1D1．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年安徽省芜湖一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图，已知平行六面体ABC-A1B1C1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．
    （1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
    （2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问F在何处时，EF⊥AD？

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