Question

如图，棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁上的动点，F为棱BC的中点．
（1）求证：直线AE⊥DA₁
（2）求三棱锥D-AEF的体积；
（3）在线段AA₁求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明直线DA₁⊥平面ABC₁D₁，由此能证明直线AE⊥DA₁．
（2）由V_D-AEF=V_E-ADF，利用等积法能求出三棱锥D-AEF的体积．
（3）在线段AA₁存在点G，且G于A₁重合，使得直线AE⊥平面DFG．取CD中点H，由已知得DF⊥平面AHE，由此能证明AE⊥平面DFG．

解答： （1）证明：∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁D₁DA是正方形，∴DA₁⊥AD₁，
∵AB⊥平面A₁D₁DA，DA₁?平面A₁D₁DA，
∴AB⊥DA₁，
又AB∩AD₁=A，∴直线DA₁⊥平面ABC₁D₁，
又AE?平面ABC₁D₁，∴直线AE⊥DA₁．
（2）解：∵DD₁⊥平面ADF，DD₁=2，
S_△ADF=

1

2

×AD×AB=2，
∴三棱锥D-AEF的体积V_D-AEF=V_E-ADF=

1

3

×2×2=

4

3

．
（3）解：在线段AA₁存在点G，且G于A₁重合，使得直线AE⊥平面DFG．
由（1）得AE⊥DA₁，
取CD中点H，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，
∴DF⊥AE，
又DF∩A₁D=D，∴AE⊥平面DFG．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查在线段AA₁求一点G，使得直线AE⊥平面DFG的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．