Question

已知函数f（x）=m（x-m）（x-m-1），g（x）=2^-x-1，若命题p：?x∈（3，+∞），f（x）g（x）≤0为假命题，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先求出命题p成立的条件，利用根据全称命题为假命题，即可求出m的取值范围．

解答：解：当x∈（3，+∞）时，g（x）=2^-x-1＜

1

8

-1=-

7

8

＜0，
若：?x∈（3，+∞），f（x）g（x）≤0，
则?x∈（3，+∞），f（x）≥0，即?x∈（3，+∞），m（x-m）（x-m-1）≥0，
若m=0时，不等式等价为0≥0成立．
若m＞0，则不等式等价为（x-m）（x-m-1）≥0，
要使?x∈（3，+∞），f（x）≥0，
则满足m+1≤3，即m≤2，此时0＜m≤2．
若m＜0，则不等式等价为（x-m）（x-m-1）≤0，
∵x∈（3，+∞），∴此时不等式不成立．
综上当命题p为真命题时的取值范围为0≤m≤2，
即p：0≤m≤2．
∵命题p为假命题，
∴￢p为真命题，
∴￢p：m＜0或m＞2．
故答案为：m＜0或m＞2．

点评：本题主要考查含有量词的命题的应用，利用指数函数和一元二次不等式的性质是解决本题的关键．