Question

（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足
（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3） 求

Answer 1

解：
（1）a₁=1，a₂=，a₃=；
（2）数列{an}的通项公式可能是：an=，证明见解析。
（3）Sn==

本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和的关系式的运用，令值的思想得到前几项，然后归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法证明，
（1）由题意可知，那么对于n令值，那么可知a₂=
a₃=
(2)根据上一问的结论，数列{a_n}的通项公式可能是：an=，然后运用数学归纳法分两步骤证明即可。
（3）因为通项公式累加可以得到前n项和的结论。
解：
（1）S₁=1/2(a₁+1/a₁)
又S₁=a₁
故1/2(a₁+1/a₁)=a₁
即a₁²=1  因为a1>0
故a₁=1
S₂=1/2(a₂+1/a₂)
又S₂=a₁+a₂=1+a₂
故1/2(a₂+1/a₂)=1+a₂ (a₂>0)
解得：a₂=
同理：a₃=
（2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=
假设an=成立
证明：
① 当n=1时，a_n=1=     假设成立
② 当n=2时，a_n==    假设成立
③ 假设n=i时，假设成立，即
ai=
Si=(+()+()+…+()=
那么，当n=i+1时
由sn=1/2(a_n+1/a_n)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1="Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-"
解得：ai+1= 由①②③可证明假设a_n=成立
an通项公式为：a_n=
（3）Sn==