Question

设{a_n}是公差大于0的等差数列，b_n=(

1

2

)an，已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁b₂b₃=

1

8

，
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求等差数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）要证明等比数列，可根据等比数列的定义，验证从第二项起，每一项与前一项之比等于常数即可；
（2）根据数列{b_n}是等比数列，可先求数列{b_n}的通项，进而根据b_n=(

1

2

)an，可求数列{a_n}的通项a_n．

解答：（1）证明：设{a_n}的公差为d.

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d为常数，又b_n＞0．
即{b_n}为以(

1

2

)a1为首项，公比为(

1

2

)d的等比数列．-------------------------------------（6分）
（2）由b2=

1

2

得，

b1+b3= 17 8 b1b3= 1 4

⇒

b1= 1 8 b3=2

or

b3= 1 8 b1=2

，由{b_n}公比为q=(

1

2

)d∈(0，1)
所以b₁＞b₃，所以

b3= 1 8 b1=2

-----------------------------------------------------（12分）
所以bn=(

1

2

)2n-3，即a_n=2n-3，n∈N^*--------------------------------------（14分）

点评：本题的考点是等差数列与等比数列的综合，主要考查等差数列与等比数列的通项及性质，关键是正确运用等比数列的定义，利用等比数列的通项公式．