Question

15．已知实数列{a_n}是等比数列，若a₂a₅a₈=-8，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$（　　）

• A． 有最大值$\frac{1}{2}$
• B． 有最小值$\frac{1}{2}$
• C． 有最大值$\frac{5}{2}$
• D． 有最小值$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先求出a₅=-2，再由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$+$\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}$，利用均值定理能求出$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$有最小值$\frac{5}{2}$．

解答 解：∵数列{a_n}是等比数列，a₂a₅a₈=-8，∴${{a}_{5}}^{3}=-8$，
解得a₅=-2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$=$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{5}}^{2}}$+$\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$+$\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}$≥1+2$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}•\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}}$=1+2$\sqrt{\frac{9}{（{a}_{5}）^{4}}}$=1+2×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$有最小值$\frac{5}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查代数式的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和均值定理的合理运用．