Question

19．设一直棱柱的底面是边长为2$\sqrt{2}$正方形，棱柱的顶点都在同一个球面上，且这个球面的表面积为64π，则该四棱柱的对角线与底面成的角是（　　）

• A． 30°
• B． 38°
• C． 45°
• D． 60°

Answer 1

分析 由已知求出直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2$\sqrt{2}$正方形，BD=4，BD₁=2R=8，∠D₁BD是该四棱柱的对角线与底面成的角，由此能求出结果．

解答 解：∵这个球面的表面积为64π，
∴4πR²=64π，解得R=4，
∵直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2$\sqrt{2}$正方形，棱柱的顶点都在同一个球面上，
∴BD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，BD₁=2R=8，
∵DD₁⊥底面ABCD，∴∠D₁BD是该四棱柱的对角线与底面成的角，
∵cos∠D₁BD=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠D₁BD=60°．
∴该四棱柱的对角线与底面成的角是60°．
故选：D．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．