Question

1．已知二次函数f（x）的图象与x轴交于点（1，0），与y轴交于点（0，-1），其最小值为-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=$\sqrt{f（x）+2}$-mx（m＞0）是[0，+∞）上的单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件设设f（x）=ax²+bx-1，即可得到f（1）=a+b-1=0，$\frac{-4a-{b}^{2}}{4a}$=-1，解得即可，
（2）g（x）=$\sqrt{f（x）+2}$-mx=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-mx，求导，根据导数和函数的单调性，分类讨论即可．

解答 解：（1）二次函数f（x）的图象与x轴交于点（1，0），与y轴交于点（0，-1），其最小值为-1
设f（x）=ax²+bx-1，
则f（1）=a+b-1=0，$\frac{-4a-{b}^{2}}{4a}$=-1，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x²-1，
（2）g（x）=$\sqrt{f（x）+2}$-mx=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-mx，
∴g′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-m，
∵g（x）是[0，+∞）上的单调增函数，
∴g（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-m≥0，在[0，+∞）上恒成立，
∴m≤$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
∵$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥0，
∴m≤0，
此时m∈∅，
当∵g（x）是[0，+∞）上的单调减函数，
∴g′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-m≤0，在[0，+∞）上恒成立，
∴m≥$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$
∵$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$＜1，
∴m≥1，
故m的取值范围为[1，+∞）

点评 本题考查了二次函数解析式求法和函数的单调性和导数的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．