Question

10．设命题p：$\frac{2x}{x-1}$＜1，命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：由$\frac{2x}{x-1}$＜1得$\frac{2x}{x-1}$-1=$\frac{x+1}{x-1}$＜0，解之得-1＜x＜1…（3分）
由x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0即（x-a）[x-（a+1）]＜0
解得a＜x＜a+1…（6分）
因为￢p是￢q的充分不必要条件，由命题的等价性知，q是p的充分不必要条件，
即p是q的必要不充分条件…（9分）
则$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$，即-1≤a≤0，
则a的取值范围为：[-1，0]…（12分）

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，