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13.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=$\sqrt{2}$,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
(1)求BE和BC的长;
(2)证明:BE⊥平面BB1C1C.

分析 (1)过点B作BF⊥CD于F点,则BF=AD=$\sqrt{2}$,EF=AB=DE=1,FC=2,由此利用勾股定理能求出BE和BC的长.
(2)由勾股定理的逆定理得BE⊥BC,由线面垂直得BE⊥BB1,由此能证明BE⊥平面BB1C1C.

解答 (1)解:过点B作BF⊥CD于F点,则:
BF=AD=$\sqrt{2}$,EF=AB=DE=1,FC=2,
在Rt△BEF中,BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
在Rt△BCF中,BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$.
(2)证明:在△BCE中,∵BE=$\sqrt{3}$,BC=$\sqrt{6}$,CE=3,
∴BE2+BC2=CE2
∴∠CBE=90°,∴BE⊥BC,
∵BB1⊥平面iBCD,BE?平面BCD,
∴BE⊥BB1
又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线,
∴BE⊥平面BB1C1C.

点评 本题考查线段长的求法,考查线面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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