Question

13．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3．
（1）求BE和BC的长；
（2）证明：BE⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）过点B作BF⊥CD于F点，则BF=AD=$\sqrt{2}$，EF=AB=DE=1，FC=2，由此利用勾股定理能求出BE和BC的长．
（2）由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，由线面垂直得BE⊥BB₁，由此能证明BE⊥平面BB₁C₁C．

解答 （1）解：过点B作BF⊥CD于F点，则：
BF=AD=$\sqrt{2}$，EF=AB=DE=1，FC=2，
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△BCF中，BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
（2）证明：在△BCE中，∵BE=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，CE=3，
∴BE²+BC²=CE²，
∴∠CBE=90°，∴BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面iBCD，BE?平面BCD，
∴BE⊥BB₁，
又∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线，
∴BE⊥平面BB₁C₁C．

点评 本题考查线段长的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．