Question

4．已知函数$y=sin\frac{aπ}{2}x（a＞0）$在区间（0，1）内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a的取值范围是（7，13]．

Answer 1

分析 令t=$\frac{aπ}{2}$x，则题目转化为函数y=sint在区间（0，$\frac{aπ}{2}$）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，据正弦函数的图象即可求a的取值范围．

解答 解：函数y=sin$\frac{aπ}{2}$x（a＞0）在区间（0，1）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，
可以令t=$\frac{aπ}{2}$x，则题目转化为复合函数y=sint在区间（0，$\frac{aπ}{2}$）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，
如图：

y=sint在开区间（0，$\frac{aπ}{2}$）内至少取得两次最小值，则 $\frac{aπ}{2}$＞$\frac{7}{2}$π．
y=sint在开区间（0，$\frac{aπ}{2}$）内至多取得三次最大值，则 $\frac{aπ}{2}$≤$\frac{13}{2}$．
得到7＜a≤13．
故答案为：（7，13]．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于中档题．