Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（2）若SA=2，求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）由四棱锥的侧面都是等边三角形，可得SD=SB，再由O为底面中心，可得SO⊥BD，AC⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥面SAC，从而得到平面BDE⊥平面SAC；
（2）由题意可知，SO⊥平面ABCD，而E为SC的中点，则${V}_{A-BDE}={V}_{E-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{S-ABD}$，则三棱锥A-BDE的体积可求．

解答 （1）证明：∵四棱锥的侧面都是等边三角形，
∴SD=SB，
又∵O为底面中心，
∴SO⊥BD，AC⊥BD，
又SO∩AC=O，∴BD⊥面SAC，
∵BD?面BDE，∴平面BDE⊥平面SAC；
（2）解：由题意可知，SO⊥平面ABCD，而E为SC的中点，
∴${V}_{A-BDE}={V}_{E-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{S-ABD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△ABD}×SO=\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{4-2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．