Question

已知tanα，tanβ是方程x2+3

3

x+4=0的两根，且α，β∈(-

π

2

，

π

2

)，则α+β=（　　）

• A、

  π

  3

  或-

  2π

  3

• B、-

  π

  3

  或

  2π

  3

• C、

  π

  3

• D、-

  2π

  3

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=-3

3

且tanα•tanβ=4，由此利用两角和的正切公式，算出tan（α+β）=

3

．再根据特殊角的三角函数值与α、β的范围加以计算，可得α+β的大小．

解答：解：∵tanα、tanβ是方程x2+3

3

x+4=0的两根，
∴由根与系数的关系，可得tanα+tanβ=-3

3

，tanα•tanβ=4，
因此，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-3 3

1-4

=

3

．
∵tanα+tanβ＜0，tanα•tanβ＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，
结合α、β∈(-

π

2

，

π

2

)，可得α、β∈（-

π

2

，0），
∴α+β∈（-π，0），
结合tan（α+β）=

3

，可得α+β=-

2π

3

．
故选：D

点评：本题给出tanα、tanβ是一元二次方程的两根，求α+β的值．着重考查了一元二次方程根与系数的关系、两角和的正切公式、特殊角的三角函数值与任意角的三角函数的定义等知识，属于中档题．