Question

【题目】已知函数f（x）=xex﹣a（x﹣1）（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间
（2）若存在实数x0∈（0， ），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+1）ex﹣a，

由f′（0）=0，解得：a=1，

故f′（x）=（x+1）ex﹣1，

令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增

（2）解：若f（x）＜0在x∈（0， ）上有解，

即xex＜a（x﹣1），a＜ 在x∈（0， ）上有解，

设h（x）= ，x∈（0， ），

则h′（x）= ＜0，

故h（x）在（0， ）递减，

h（x）在（0， ）的值域是（﹣ ，0），

故a＜h（0）=0

【解析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＜ 在x∈（0， ）上有解，设h（x）= ，x∈（0， ），根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．