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5.已知数列{an}是以a为首项,q为公比的等比数列,Sn为它的前n项和.
(1)当S1,S3,S4成等差数列时,求q的值;
(2)若bn=anan+1(n∈N+),试求数列{bn}的前n项和Sn的公式.

分析 (1)通过S1,S3,S4成等差数列,利用2S3=S1+S4可得q(q2-q-1)=0,计算即可;
(2)通过(1)计算可得{bn}是首项为${b_1}={a_1}{a_2}={a^2}q$,公比为q2的等比数列,进而可得结论.

解答 解:(1)由题意可得:${a_n}=a{q^{n-1}}(q≠0)$,
当S1,S3,S4成等差数列时,2S3=S1+S4
∵S1=a1=a,
∴${S_3}={a_1}+{a_2}+{a_3}=a(1+q+{q^2})$,
${S_4}={a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}=a(1+q+{q^2}+{q^3})$,
∴2a(1+q+q2)=a+a(1+q+q2+q3)(a≠0),
即:q(q2-q-1)=0,
解得:q=0(舍去)或$q=\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$或$q=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$;
(2)${a_n}=a{q^{n-1}}(q≠0)$,$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{{{a_{n-1}}{a_n}}}={q^2}$,
∴{bn}是首项为${b_1}={a_1}{a_2}={a^2}q$,公比为q2的等比数列,
∴Sn=$\left\{\begin{array}{l}{n{a}^{2},}&{q=1}\\{-n{a}^{2},}&{q=-1}\\{\frac{{a}^{2}q(1-{q}^{2n})}{1-{q}^{2}},}&{q≠1且q≠-1}\end{array}\right.$.

点评 本题考查等差数列的相关知识,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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