Question

已知a、b、c是正实数，求证：

a2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

≥

b

a

+

c

b

+

a

c

．

Answer 1

分析：由实数平方的非负性可得（

a

b

-

b

c

）²+（

b

c

-

c

a

）^2+（

c

a

-

a

b

）²≥0，利用不等式的性质，将其展开后，进行变形，即可证得结论．

解答：解：∵（

a

b

-

b

c

）²+（

b

c

-

c

a

）^2+（

c

a

-

a

b

）²≥0
即2•（

a 2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

）-2•（

b

a

+

c

b

+

a

c

）≥0
即2•（

a 2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

）≥2•（

b

a

+

c

b

+

a

c

）
∴

a 2

b2

+

b2

c2

+

c2

a2

≥

b

a

+

c

b

+

a

c

．（10分）

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，其中分析不等式两边的形式，观察到不等号左边的平方形式，而采用平方法进行切入是解答本题的关键．