Question

（2009•成都二模）已知过原点的动圆c与直线l：x-y-4=0相切，且当动圆C面积最小时，圆的方程是（　　）

A．（x-1）²+（y+1）²=4

B．（x-1）²+（y+1）²=2

C．（x+1）²+（y-1）²=4

D．（x+1）²+（y-1）²=2

Answer 1

分析：通过作图可看出，当原点、圆心，切点在一条直线上时，动圆半径最小，此时原点O到x-y-4=0的距离为2r=

|4|

2

=2

2

可求r，由圆心到直线x-y-4=0的距离d=

|2a-4|

2

=

2

及圆心C在直线x-y-4=0上可求a，从而可求圆的方程

解答：解：通过作图可看出，当原点，圆心，切点在一条直线上时，动圆半径最小
此时原点O到x-y-4=0的距离为2r=

|4|

2

=2

2

∴r=

2

此时直线OD的方程为y=-x，从而可设圆心（a，-a），且a＞0
由圆心到直线x-y-4=0的距离d=

|2a-4|

2

=

2

∴a=1或a=3
∵圆心C在直线x-y-4=0上可得，2a-4＜0
∴a＜2
∴a=1
∴圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=2
故选B

点评：本题考查了直线与圆相切时满足的条件，以及点到直线距离公式的运用．寻找动圆的半径最小的位置时解答本题的关键