Question

5．已知函数f（x）=sin（π-x）+$\sqrt{3}$cosx．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小周期；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，$\frac{5π}{6}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数y=f（x）的最小周期．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）在区间[0，$\frac{5π}{6}$]上的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin（π-x）+$\sqrt{3}$cosx=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
可得它的最小正周期为2π．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
当x∈[0，$\frac{5π}{6}$]时，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，π]，sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，∴2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[0，2]，
即f（x）的值域为[0，2]．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．