Question

已知函数f(x)＝x³＋3ax－1的导函数f ′ (x)，g(x)＝f ′(x)－ax－3．
（1）当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，求实数x的取值范围；
（3）若x·g ′(x)＋lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a＝－2时， f ′(x)＝3x2－6 ．
令 f ′(x)＝0 得x＝，
故当 x＜或x＞时， f ′(x) ＞0 ，f(x) 单调递增；
当＜x＜时， f ′(x)＜0， f(x) 单调递减．
所以函数f(x)的单调递增区间为 (－∞，]，[，＋∞)，
单调递减区间为 (，)． …………………………………………3分
（2）解法一：因＝3x2＋3a，
故g(x) ＝3x2－ax＋3a－3．
令g(x)＝h(a)＝a(3－x)＋3x2－3，
要使 h(a)＜0对满足－1≤a≤1的一切 a成立，则
0＜x＜． …………………………………… 7分
解法二：f ′(x)＝3x2＋3a，
故g(x)＝3x2－ax＋3a－3．
由g(x)＜0可解得＜x＜．
因为＝a2－36a＋36在[－1，1]单调递减，
因此 h1(a)＝在[－1，1] 单调递增，故h1(a)≤h1(1) ＝0
设h2(a)＝，
则h′2(a)＝，
因为≥1，
所以 h′2(a)≤(1＋a－18)＜0，
从而h2(a) 在[－1，1] 单调递减，
故h2(a)≥h2(1)＝．
因此[h1(a)]max＜x＜[h2(a)]min，即0＜x＜．
（3）因为g′(x)＝6x－a，所以 x(6x－a)＋lnx＞0，
即 a＜6x＋＝h(x) 对于一切x≥2恒成立．
h′(x)＝6＋＝，
令6x2＋1－lnx＝，则＝12x－．
因为x≥2，所以＞0，
故在[2，＋∞) 单调递增，有≥＝25－ln2＞0．
因此h′(x)＞0，从而h(x)≥h(2)＝12＋．
所以a＜hmin(x)＝h(2)＝12＋．……………………………………12分  

略