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    如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在侧面CDD1C1及
    其边界上运动，并且总保持B1P∥平面A1BD，则动点P的轨迹的长度是________．


    分析：连接B1D1、CD1、B1C，根据面面平行的判定定理可知平面B1D1C∥平面A1BD，又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，则点P须在线段CD1上运动，即满足条件，求出CD1即可求出所求．
    解答：解：连接B1D1、CD1、B1C，
    易证B1D1∥BD，CD1∥BA1，
    则平面B1D1C∥平面A1BD，
    又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，
    则则点P须在线段CD1上运动，即满足条件，
    CD1=，
    则点轨迹的长度是 ，
    故答案为：．
    点评：本题主要考查了平面与平面平行的性质，以及线段长度的求解，同时考查了推理能力，转化与划归的思想，属于中档题．
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    （1） 如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=
     
    ．
    （2）如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=
     
    ．
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    如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量
    A1B
    、
    B1C
    、
    EF
    是共面向量．

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    （1）求GH长的取值范围；
    （2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线B1B的距离．

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    精英家教网如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是所在棱的三等分点，且BF=DE=C1G=C1H=
    13
    AB    ．
    （1）证明：直线EH与FG共面；
    （2）若正方体的棱长为3，求几何体GHC1-EFC的体积．

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