Question

已知两个向量

a

=（1+log₂|x|，log₂|x|），

b

=（log₂|x|，t）（x≠0）．
（1）若t=1且

a

⊥

b

，求实数x的值；
（2）对t∈R写出函数f（x）=

a

•

b

具备的性质．

Answer 1

分析：（1）欲求实数x的值，先根据

a

⊥

b

和t=1，有（1+log₂|x|，log₂|x|）•（log₂|x|，1）=0，再根据向量积的点坐标计算公式计算即可得出x的值．
（2）要写出函数的性质，主要看奇偶性、单调性、最值这三个方面．

解答：解：（1）由已知得log₂²|x|+2log₂|x|=0（2分）
log₂|x|=0或log₂|x|=-2（4分）
解得x=±1或x=±

1

4

（6分）
（2）f（x）=log₂²|x|+（1+t）log₂|x|=0（8分）
具备的性质：
①偶函数；
②当log2|x|= -

1+t

2

即x=±2

1+t

2

时，
f（x）取得最小值-

(1+t)2

4

（写出值域为[ -

(1+t)2

4

，+m)也可）；
③单调性：在(0，2-

1+t

2

]上递减，[2-

1+t

2

，+m)上递增；
由对称性，在[-2-

1+t

2

，0)上递增，在(-m，-2-

1+t

2

]递减

点评：本题考查平面向量综合知识，同时考查对数函数的相关知识．