Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，asinA-bsinB+csinC=$\sqrt{2}$asinC
（1）求角B；
（2）若A=75°，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入计算求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由A与B的度数求出C的度数，再由sinB，b及sinC的值，利用正弦定理求出c的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由正弦定理化简已知等式得：a²+c²-$\sqrt{2}$ac=b²，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B为三角形的内角，
∴B=45°；
（2）∵A=75°，B=45°，
∴C=60°，
由b=2及正弦定理有：$\frac{2}{sin45°}$=$\frac{c}{sin60°}$，得到c=$\frac{2sin60°}{sin45°}$=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{6}$×sin75°=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．