Question

（2007•广州模拟）已知平面向量

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈（0，π〕，若f（x）=

a

•

b

（1）求f（

π

2

）的值；
（2）求f（x）的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可求得f（x）=

a

•

b

=sin（2x+

π

3

）+

1

2

，从而可求得求f（

π

2

）的值；
（2）由f（x）=sin（2x+

π

3

）+

1

2

，可求得f（x）的最大值及相应的x的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

cos2x+1

2

=sin（2x+

π

3

）+

1

2

，
∴f（

π

2

）=sin（2×

π

2

+

π

3

）+

1

2

=-sin

π

3

+

1

2

=-

3

2

+

1

2

．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

3

）+

1

2

∴当2x+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z）
即x=

π

12

+kπ（k∈Z）时
有f（x）_max=1+

1

2

=

3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查平面向量数量积的运算及正弦函数的性质，属于中档题．