Question

已知数列{c_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，且数列{c_n+1-pc_n}为等比数列，则常数p=（　　）

A．2或3

B．2

C．3

D．不能确定

Answer 1

分析：利用等比中项的性质可推断出（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），整理后求得p的值．

解答：解：∵{c_n+1-pc_n}是等比数列，
∴（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），
将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，可得
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ-p（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ]²
=[（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹][（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1]，
整理得

1

6

（2-p）（3-p）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解得p=2或p=3．
故选A

点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比中项的应用，属中档题．