【题目】当n∈N*时, ,Tn= + + +…+ . (Ⅰ)求S1 , S2 , T1 , T2;
(Ⅱ)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.
【答案】解:(Ⅰ)∵当n∈N*时, ,Tn= + + +…+ . ∴S1=1﹣ = ,S2=1﹣ + ﹣ = ,T1= = ,T2= + =
(Ⅱ)猜想:Sn=Tn(n∈N*),即:
1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + + +…+
(n∈N*)
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,已证S1=T1
②假设n=k时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),
即:1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = +…+
则:Sk+1=Sk+ ﹣ =Tk+ ﹣
= +…+ + ﹣
= +…+ + +( ﹣ )
= + +…+ + =Tk+1 ,
由①,②可知,对任意n∈N* , Sn=Tn都成立.
【解析】(Ⅰ)由已知直接利用n=1,2,求出S1 , S2 , T1 , T2的值;(Ⅱ)利用(1)的结果,直接猜想Sn=Tn , 然后利用数学归纳法证明,①验证n=1时猜想成立;②假设n=k时,Sk=Tk , 通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数学归纳法的定义,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法即可以解答此题.
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【题目】设f(x)=esinx+e﹣sinx(x∈R),则下列说法不正确的是( )
A.f(x)为R上偶函数
B.π为f(x)的一个周期
C.π为f(x)的一个极小值点
D.f(x)在区间 上单调递减
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【题目】一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8,则g(x)是( )
A.g(x)=9x+8
B.g(x)=3x+8
C.g(x)=﹣3x﹣4
D.g(x)=3x+2或g(x)=﹣3x﹣4
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【题目】已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)= .
(1)求x<0时,f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在R上的图象;
(3)结合图象写出f(x)的值域.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,角C是钝角,且sinB= . (Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若b=2,△ABC的面积为 ,求c的值.
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【题目】在△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边,条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q,a1=b1=1,a2=b2 , a5=b3 .
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)若cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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