Question

6．如图所示，圆锥的母线长l，轴截面PAB内，∠PAO=60°，
求：
（1）该圆锥的体积；
（2）侧面面积、侧面展开图的圆心角的度数．

Answer 1

分析 由圆锥的母线长l，轴截面PAB内，∠PAO=60°，故圆锥的底面半径r=$\frac{1}{2}$l，圆锥的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
（1）代入圆锥体积公式，可得答案；
（2）代入圆锥侧面积公式，可得侧面面积，设侧面展开图的圆心角的度数为α，利用扇形面积公式，可得圆心角度数．

解答 解：（1）∵圆锥的母线长l，轴截面PAB内，∠PAO=60°，
故圆锥的底面半径r=$\frac{1}{2}$l，
圆锥的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
故圆锥的体积V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}{πr}^{2}h$=$\frac{\sqrt{3}}{24}{πl}^{3}$；
（2）圆锥的侧面积S=πrl=$\frac{1}{2}{πl}^{2}$，
设侧面展开图的圆心角的度数为α，
则$\frac{α}{2π}$πl²=$\frac{1}{2}{πl}^{2}$，
解得：α=π

点评 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积和表面积公式，难度中档．