Question

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点．
（1）过M点的直线l₁交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的

1

4

，求直线l₁的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线l₂与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，求三角形△NF₁F₂面积．

Answer 1

分析：（1）由PQ为圆周的

1

4

，知∠POQ=

π

2

．所以O点到直线l₁的距离为

2

2

，由此能求出l₁的方程．
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，则

a2

c

=2．由椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=1．由此能求出所求椭圆方程．
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，N点的坐标为(-

1

2

，

3

2

)，由此能求出三角形△NF₁F₂面积．

解答：解：（1）∵PQ为圆周的

1

4

，∴∠POQ=

π

2

．∴O点到直线l₁的距离为

2

2

．----（2分）
设l₁的方程为y=k（x+2），∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，∴k2=

1

7

．∴l₁的方程为y=±

7

7

(x+2)．---（5分）
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，则

a2

c

=2．∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=1．-（6分）
当a=1时，c=

1

2

，b2=a2-c2=

3

4

，∴所求椭圆方程为x2+

4y2

3

=1；--（8分）
当b=1时，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．
所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．---（10分）
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
N点的坐标为(-

1

2

，

3

2

)，---（11分）

若椭圆为

x2

2

+y2=1．其焦点F₁，F₂
分别为点A，B故S△NF1F2=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，--（13分）
若椭圆为x2+

4y2

3

=1，其焦点为F1(-

1

2

，0)，F2(

1

2

，0)，
此时S△NF1F2=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

--（15分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．