Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线y=x+1交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得：m＜5；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y=x+1，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0③，
将直线方程y=x+1与曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0，
联立并消去y得：2x²-4x+m-3=0，由韦达定理得：x₁+x₂=2①，x₁x₂=②，
将①、②代入③得：4++1=0，
则m=-7．
分析：（1）由二元二次方程构成圆的条件D²+E²-4F＞0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意m的范围；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据两直线垂直时斜率的乘积为-1列出关系式，然后将直线y=x+1与已知曲线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，将y=x+1代入x₁x₂+y₁y₂，化为关于两点横坐标的关系式，整理后将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出m的值．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，二元二次方程构成圆的条件，韦达定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，是一道高考中常考的综合题．