Question

给定四个命题：
①若f（x）在R上递增，且f（1）f（3）＜0，则方程f（x）=0在（1，3）内有唯一的实数根．
②若f（x）在其定义域内可导，且导函数f'（x）是奇函数，则f（x）是偶函数．
③若函数f（x）在[1，4]上连续，则f（x）在[1，4]上必有最大值与最小值．
④若函数y=f（x）的图象既关于点A（1，0）对称，又关于点B（3，0）对称，那么f（x）为周期函数．
其中真命题的序号是

 

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Answer 1

分析：对于①若f（x）在R上递增，且f（1）f（3）＜0，根据零点存在定理可知正确；②若f（x）在其定义域内可导，且导函数f'（x）是奇函数，则其原函数f（x）一定是偶函数；③若函数f（x）在[1，4]上连续，根据最值定理可得正确；④若f（x）的图象既关于点A（1，0）对称，则f（-x）=-f（2+x），由图象关于点B（3，0）对称，f（-x）=-f（6+x）可推出f（x）是以4a为周期的函数．

解答：解：①若f（x）在R上递增，且f（1）f（3）＜0，根据零点存在定理可知，方程f（x）=0在（1，3）内有唯一的实数根．故正确；
②若f（x）在其定义域内可导，且导函数f'（x）是奇函数，则其原函数f（x）一定是偶函数．故正确；
③若函数f（x）在[1，4]上连续，根据最值定理可得：f（x）在[1，4]上必有最大值与最小值．故正确；
④若f（x）的图象既关于点A（1，0）对称，则f（-x）=-f（2+x），
由图象关于点B（3，0）对称，f（-x）=-f（6+x），∴f（6+x）=f（2+x）⇒f（4+x）=f（x），
所以f（4a+x）=f（x），f（x）是以4a为周期的函数．故正确．
其中真命题的序号是 ①②③④．
故答案为：①②③④．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．