Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），[f′（α）]²+[f′（β）]²=0，f（α）+f（β）=0（其中α，β∈R且α≠β），则下列选项中一定是方程f（x）=0的根的是（　　）

• A．-

  b

  3a

• B．-

  b

  2a

• C．

  c

  3a

• D．

  c

  2a

Answer 1

分析：可判α，β为函数f（x）的极值点，f（x）的图象关于点（0，d）中心对称，可得两极值点的中点在函数f（x）的图象上，结合韦达定理可得结论．

解答：解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵[f′（α）]²+[f′（β）]²=0，[f′（α）]²≥0，[f′（β）]²≥0，
∴f′（α）=f′（β）=0，即α，β为一元二次方程f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两根，
即α，β为函数f（x）的极值点，令g（x）=ax³+bx²+cx，可判g（x）为奇函数，
故函数g（x）的图象关于原点对称，f（x）可看作g（x）的图象上下平移得到的，
故f（x）的图象关于点（0，d）中心对称，
故可得两极值点（α，f（α）），（β，f（β））的中点（

α+β

2

，

f(α)+f(β)

2

）在函数f（x）的图象上，
由韦达定理可得α+β=-

2b

3a

，αβ=

c

3a

，故（-

b

3a

，0）在函数f（x）的图象上，
故可得f（-

b

3a

）=0．
故选：A．

点评：本题考查函数的极值点，以及函数图象的变换，属中档题．