已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为19,求f(x)的展式式中x2的系数的最小值.
解:f(x)=1+C
m1x+C
m2x
2+…+C
mmx
m+1+C
n1x+…+C
nnx
n=2+(C
m1+C
n1)x+(C
m2+C
n2)x
2+…(2分)
由题意m+n=19(m,n∈N
*)…(4分)
x
2项的系数为
…(8分)
∵m,n∈N
*∴当m=9或10时,即m=10,n=9或m=9,n=10时,x
2项的系数取得最小值,最小值为81…(12分)
分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数,列出方程得到m,n的关系;利用二项展开式的通项公式求出x
2的系数,
将m,n的关系代入得到关于m的二次函数,配方求出最小值
点评:本题考查二项式定理的应用,本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题;利用赋值法求二项展开式的系数和问题.解题时要认真审题,仔细解答.