Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c。

   （1）若a>b>c,且f（1）=0,证明f（x）的图象与x轴有两个交点;

   （2）在（1）的条件下,是否存在mR,使得当f（m）=-a成立时,f（m+3）为正数,证明你的结论;若不存在,说明理由;

   （3）若对x₁,x₂R,且x₁<x₂,f（x₁）≠f（x₂）,方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等的实根,证明必有一个实根属于（x₁,x₂）;

Answer 1

（1）3分,∵f（1）=0 ∴a+b+c=0   又a>b>c    ∴a>0,c<0,

⊿=b²-4ac>0  ∴图象与x轴有两个交点．

       （3）4分,另g（x）=f（x）-]

∵g（x₁）g（x₂）=[f（x₁）-[f（x₂）

-=-[f（x₁-f（x₂））²≤0

又∵f（x₁）≠f（x₂）,   

∴g（x₁）g（x₂）<0,   ∴g（x）=0必有一个根在区间（x₁,x₂）