Question

（2008•如东县三模）在（2x-3y）¹⁰的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和
（4）奇数项系数和
（5）x的奇次项系数和．

Answer 1

分析：（1）根据二项式系数的定义可得二项式系数和为

C

0 10

+

C

1 10

+…

C

10 10

，运算求得结果．
（2）令x=y=1，可得各项系数和．
（3）奇数项的二项式系数和为

C

0 10

+

C

2 10

+…

C

10 10

，偶数项的二项式系数和为

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

．
（4）在二项式展开式中，令x=y=1，得a₀+a₁+…+a₁₀=1，令x=1，y=-1，得a₀-a₁+…+a₁₀=5¹⁰，
两式相加除以2求得奇数项系数和．
（5）由（4）可得x的奇次项的系数为a₁+a₃+…+a₉的值．

解答：解：（1）二项式系数和为

C

0 10

+

C

1 10

+…

C

10 10

=2¹⁰．
（2）令x=y=1，各项系数和为（2-3）¹⁰=（-1）¹⁰=1．
（3）奇数项的二项式系数和为

C

0 10

+

C

2 10

+…

C

10 10

=2⁹，偶数项的二项式系数和为

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

=2⁹．
（4）设（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+…+a10y10，令x=y=1，得a₀+a₁+…+a₁₀=1，
令x=1，y=-1，得a₀-a₁+…+a₁₀=5¹⁰，两式相加可得a₀+a₂+…+a₁₀=

1+510

2

，a₁+a₃+…+a₉=

1-510

2

，
故奇数项系数和为

1+510

2

．
（5）由（4）可得x的奇次项的系数为a₁+a₃+…+a₉=

1-510

2

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开
式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．