Question

（2013•徐州一模）已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a₁=a，b₁=b，且对任意的正整数k，当a_k+b_k≥0时，ak+1=

1

2

ak-

1

4

bk，bk+1=

3

4

bk；当a_k+b_k＜0时，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
（1）求数列{a_n+b_n}的通项公式；
（2）若对任意的正整数n，a_n+b_n＜0恒成立，问是否存在a，b使得{b_n}为等比数列？若存在，求出a，b满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数n，a_n+b_n＜0，且b2n=

3

4

b2n+1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过计算转化建立{b_n+a_n}的相邻两项之间的关系是解决本题的关键，发现该数列是等比数列，从而确定出通项公式；
（2）假设存在合题意的a，b，然后确定出b_n的关系式是解决本题的关键，通过分析其相邻项之间的关系即可求解
（3）通过b_n的相应项之间的关系得到关于n的不等关系，然后结合已知a_n的递推关系可求b_n的表达式

解答：解：（1）当a_k+b_k≥0时，ak+1=

1

2

ak-

1

4

bk，bk+1=

3

4

bk；
∴a_k+1+b_k+1=

1

2

ak-

1

4

bk+

3

4

bk=

1

2

(ak+bk)
当a_k+b_k＜0时，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴a_k+1+b_k+1=-

1

4

ak+

1

2

bk+

3

4

ak=

1

2

(ak+bk)
∴总有a_k+1+b_k+1=

1

2

(ak+bk)
∵a₁=a，b₁=b，
∴a₁+b₁=b+a
∴数列{a_n+b_n}是以a+b为首项，以

1

2

为公比的等比数列
∴b_n+a_n=（b+a）（

1

2

^）n-1．
（2）∵a_n+b_n＜0恒成立
∴（b+a）(

1

2

)n-1＜0恒成立
∴b+a＜0
∵当a_k+b_k＜0时，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴an=a•(

3

4

)n-1
∴bn=(a+b)•(

1

2

)n-1-a•(

3

4

)n-1不可能是个等比数列
故{b_n}不是等比数列
（3）∵a_n+b_n＜0，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴b2n+1=-

1

4

a2n+

1

2

b2n，a2n+1=

3

4

a2n
∵b2n=

3

4

b2n+1
∴b2n+1=

4

3

b2n=-

1

4

a2n+

1

2

b2n
∴b2n=-

3

10

a2n=-

3

10

a•(

3

4

)2n-1
∴b_n=-

3a

10

•(

3

4

)n-1

点评：本题考查数列的综合问题，考查数列的递推关系与通项公式之间的关系，考查学生探究性问题的解决方法，注意体现转化与化归思想的运用，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．