Question

已知函数f(x)=

2x+3

3x

，数列a_n满足a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求a_2n-1-a_2n+1及T_n；
（3）令bn=

1

an-1an

(n≥2)，b1=1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜

m-2004

2

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：
（1）结合函数解析式和递推关系即可探索出数列的特点，再利用等差数列的特点即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）结合（1）的结论即可获得a_2n-1-a_2n+1的值，同时通过a_2n-1•a_2n-a_2n•a_2n+1的表达即可获得T_n中数列的通项，结合等差数列的知识即可获得问题的解答；
（3）首先利用（1）的结论对b_n进行化简，再利用裂项的方法即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由题意可知：an+1=f(

1

an

)=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

，
∴数列{a_n}为以1为首项，以

2

3

为公差的等差数列，
所以通向公式为an=1+(n-1)•

2

3

=

2

3

n+

1

3

，
即：an=

2

3

n+

1

3

，n∈N*；
（2）∵T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，结合（1）的结论可知：a2n-1-a2n+1=-

4

3

且a2n-1•a2n-a2n•a2n+1=(

4n

3

+

1

3

) (-

4

3

)=-

4

9

(4n+1)，
∴Tn=-

4

9

(

5+4n+1

2

)n=-

4

9

(2n2+3n)，
故：a2n-1-a2n+1=-

4

3

，Tn=-

4

9

(2n2+3n)．
（3）∵bn=

1

an-1an

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

3

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

5

2

-

9

2

•

1

2n+1

(n≥2)
∴Sn=

5

2

-

9

2

•

1

2n+1

(n≥2)
∴Sn＜

5

2

又因为Sn＜

m-2004

2

对一切n∈N^*成立，
∴

m-2004

2

≥

5

2

?m≥2009
故：m的最小值为2009．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了递推公式的知识、等差数列的知识、列项的方法以及恒成立问题的解答规律．值得同学们体会和反思．