Question

【题目】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=2C．
（1）若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围；
（2）若b=1，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：A=2C．

由正弦定理可得， ，

∵△ABC为锐角三角形，

∴ ，

进而可知， ，

即 的取值范围是 ；

（2）解：由（1）可知， ，

∴a=2ccosC=6cosC，

由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=36cos2C+1﹣12cos2C，

∵A=2C，

∴C为锐角，

解得 ，

∴ ，

从而△ABC的面积为 ．

（由sinB=sin3C=3sinC﹣4sin3C结合正弦定理求得 亦可）

【解析】（1）根据A=2C，由正弦定理化简，将 的比值转化为三角函数问题，利用三角函数的有界限可得取值范围．（2）根据b=1，c=3，A=2C．建立方程求出a和sinC，可得△ABC的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识，掌握余弦定理:;;．